晒论文：Sierpinski三角形稳定性的分析

论文的思路来源是Matrix67神牛的World of Goo与Sierpinski三角形一文。

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关于谢而宾斯基三角形稳定性的分析

1 问题背景

在实际建设过程中,经常会遇到材料有限制,或者需要尽量节省材料的工程。而采用设计较好的结构能在保证工程的目的与安全均符合标准的时候更加节省材料。

工程学中经常遇到的问题是搭建一个三角架来进行支撑,三角架本身的稳定性必然会对整体的稳定性产生影响。因此本文就三角架的一种结构的稳定性进行分析。

2 谢而宾斯基三角形的生成

谢而宾斯基三角形是 1915 年由波兰数学家谢而宾斯基 [1] 所提出,是自相似集的例子。它是分形图形的代表,结构上具有极高的自相似性。因此,此图形的结构仅能够进行一定精度下的简化,所以在加工技术发展到任意精度时均具有实用价值。谢而宾斯基三角形具有如下性质

第i行第j列是三角形当且仅当i AND j = j

其中的AND 运算满足

i	j	i AND j
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

i AND j 运算是指将i 与j 转换为二进制之后对每一位进行上述运算。在实现过程中,由于 ANSYS 软件不提供AND 运算 [2],因此使用C + + 来输出 ANSYS 命令流语句,然后导入到 ANSYS 软件中,用以生成谢而宾斯基三角形。由于谢而宾斯基三角形具有无限精细的结构,仅能使用一定精度的实现来近似。同时由于自相似性,任意大小下的分析都可以反映整体的性质。因此此处仅生成三阶精度为 1 米的结构来进行分析。最后生成的三阶谢而宾斯基三角形图 1 所示。

Figure 1: 谢尔宾斯基三角形结构

3 负载与约束分析

在实际应用中,三角架所处的环境十分复杂,本文也难以进行全部讨论,因此仅仅考虑在自重影响下的结果。实际中,使用最多的梁架材料依旧为钢铁, 因此本文讨论中所有材料采用直径为 0.15 米的圆柱型钢铁材料。同样,三角架的固定情况即约束条件也难以全部讨论,本文仅考虑其放置在刚体上,对底部结点施加竖直方向上的位移约束。

4 数据分析
用 ANSYS 进行模拟后,得到的结果如图 2-4 所示。

Figure 2: 水平方向的位移

从图中可以看到,由于重力作用是向下的,所以水平方向的位移并不是非常明显。最大位移在大三角形的脚部,约为0.921×10^−5 米。

Figure 3: 竖直方向的位移

与水平位移不同,竖直方向上的位移较为明显,最大值出现在上方三角形的底部中间,值约为0.358×10^−4 米。

Figure 4: 合应力

合应力的最大值不出意外地处在上方三角形的脚部两侧与小三角形的类似位置。最大值约为0.126×10^7 帕。

5 结构优化

从图中可以看出,竖直方向的最大位移出现在上方的三角形的底部。而合应力的最大值出现在上方三角形的脚部的两侧,因此很容易便想到,在上方三角形的两个脚部的下面增加一个斜梁,用以减小应力。

6 数据比较在进行了上述优化后,重新生成了模拟结果,如图 5-7 所示。

Figure 5: 优化后的水平位移

结果显示水平位移的优化效果不是非常明显,最大值为0.746×10^−5 米,与之前的0.921×10^−5 米仍处于一个数量级。

Figure 6: 优化后的竖直位移

与预想的不同,竖直位移并没有得到较好的改善。原因可能是优化策略是从减少应力方向出发的,如果是从减少竖直位移的方向出发,应该在中轴线上增加一个竖直的杆用以支撑。

Figure 7: 优化后的合应力

从图中可以看到,优化的目标即减小上方三角形的脚部的应力的效果非常明显,最大值不超过8.47×10^6 帕,从而使最大应力出现在下方两个小三角型的类似位置。由于谢而宾斯基三角形的自相似性,我们也可以在小三角形的类似位置进行类似的优化。

7 结论
使用谢而宾斯基三角形所构建的三角架结构,即使使用了实心钢结构,其稳定性也是良好的。最大应力也远没有超过普通钢材的应力极限。
最关键的是,由于谢而宾斯基三角形的自相似性,在整体或者部分所产生的优化思路可以方便地应用于所有位置。
同时,由于谢而宾斯基三角形的自相似性,可以应用于从纳米材料直至宇宙工程等任意大小下的结构设计。试想如果使用类似的结构从纳米级别直至宏观级别均采用谢而宾斯基三角形类似的自相似的的结构,在设计以及优化方面均会具有特别的优势。

参考文献

[1] Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jurgens and Dietmar Saupe. Chaos and fractals: new frontiers of science. New York : Springer, 2005.

[2] 曾攀. 工程有限元方法. 科学出版社, 2010.